# karmaşık sayılar soru cevap slayt - Bağlantı: https://eegitimim.com/karmasik-sayilar-soru-cevap-slayt/ - Yayımlanma: 2026-11-10T06:36:29+03:00 - Yazar: admin [karmaşık sayılar soru cevap slayt indir](https://eegitimim.com/wp-content/uploads/2026/07/karmasik-sayilar-soru-cevap-slayt.ppt) [Yükle/Download/Herunterladen/скачать ](https://eegitimim.com/wp-content/uploads/2026/07/karmasik-sayilar-soru-cevap-slayt.ppt) ## 🧮 MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ 🧠 > _Bu sunum, üniversiteye giriş sınavlarında (ÖSS, ÖYS, YGS, LYS) çıkmış çeşitli > matematik sorularının çözümlerini içermektedir._ ## 🔢 1. BÖLÜM: KARMAŞIK SAYILAR (Complex Numbers) * **Soru 1:**P(x)=2x5−x3+3x2+4x+5_P_(_x_)=2_x_5−_x_3+3_x_2+4_x_+5 olduğuna göre P(i)_P_(_i_) ifadesi neye eşittir? - **Çözüm:** P(i)=2i5−i3+3i2+4i+5_P_(_i_)=2_i_5−_i_3+3_i_2+4_i_+5 - =2i−(−i)+3(−1)+4i+5=2_i_−(−_i_)+3(−1)+4_i_+5 - =2i+i−3+4i+5=2+7i=2_i_+_i_−3+4_i_+5=**2**+**7i** * **Soru 2:**i+i2+i3+i5+⋯+i49_i_+_i_2+_i_3+_i_5+⋯+_i_49 toplamının sonucu kaçtır? - **Çözüm:** Terim sayısı 49’dur. 49’u 4’e böldüğümüzde kalan 1 olur. O halde toplam i1=i_i_1=**i** olur. _(Sunumda yazım hatası olarak i1=1i1=1 yazılmıştır, doğrusu i’dir)._ * **Soru 3:**(2+i)⋅(2+i3)⋅(2+i5)(2+_i_)⋅(2+_i_3)⋅(2+_i_5) işleminin sonucunu bulalım. - **Çözüm:** i3=−i_i_3=−_i_ ve i5=i_i_5=_i_‘dir. - (2+i)⋅(2−i)⋅(2+i)=(4−i2)⋅(2+i)=(4−(−1))⋅(2+i)=5⋅(2+i)=10+5i(2+_i_)⋅(2−_i_) ⋅(2+_i_)=(4−_i_2)⋅(2+_i_)=(4−(−1))⋅(2+_i_)=5⋅(2+_i_)=**10**+**5i** * **Soru 4:**(1+i)5⋅(1−i)6(1+_i_)5⋅(1−_i_)6 işleminin sonucu kaçtır? - **Çözüm:** (1+i)(1−i)=1−i2=2(1+_i_)(1−_i_)=1−_i_2=2’dir. - =((1+i)(1−i))5⋅(1−i)=25⋅(1−i)=32−32i=((1+_i_)(1−_i_))5⋅(1−_i_)=25⋅(1−_i_)=** 32**−**32i** _(Sunumda işaret hatası yapılıp 32+32i32+32i bulunmuştur)._ * **Soru 5 (1992 ÖYS):**(1+i)20/(1−i)20(1+_i_)20/(1−_i_)20 işleminin sonucu kaçtır? - **Çözüm:** (1+i)2=2i(1+_i_)2=2_i_ ve (1−i)2=−2i(1−_i_)2=−2_i_ olduğundan; - (2i)10/(−2i)10=(2i)10/(2i)10=1(2_i_)10/(−2_i_)10=(2_i_)10/(2_i_)10=**1** * **Soru 6 (2007 ÖSS):**(1−2i)+(2+i)+∣1−2i∣⋅∣2+i∣(1−2_i_)+(2+_i_)+∣1−2_i_∣⋅∣2+_i_ ∣ işleminin sonucu kaçtır? _(Sunumdaki metin hatalı, çözüme göre doğrusu budur)._ - **Çözüm:** =1−2i+2+i+12+(−2)2⋅22+12=1−2_i_+2+_i_+12+(−2)2​⋅22+12​ - =3−i+5⋅5=3−i+5=8−i=3−_i_+5​⋅5​=3−_i_+5=**8**−**i** * **Soru 7:**a/i−i/a_a_/_i_−_i_/_a_ karmaşık sayısının sanal kısmı 2 olduğuna göre a_a_ nedir? - **Çözüm:** a/i=−ai_a_/_i_=−_ai_ ve i/a_i_/_a_‘dır. −ai−i/a=−i(a+1/a)=−i(a2 +1)/a−_ai_−_i_/_a_=−_i_(_a_+1/_a_)=−_i_(_a_2+1)/_a_. - Sanal kısım: −(a2+1)/a=2  ⟹  a2+1=−2a  ⟹  a2+2a+1=0  ⟹  (a+1)2=0  ⟹  a=−1−( _a_2+1)/_a_=2⟹_a_2+1=−2_a_⟹_a_2+2_a_+1=0⟹(_a_+1)2=0⟹**a**=−**1** * **Soru 8:**(a+bi)20(_a_+_bi_)20 ifadesinin açılımı yapıldığında elde edilen terimlerin katsayıları toplamı kaçtır? - **Çözüm:** a=b=1_a_=_b_=1 için (1+i)20=((1+i)2)10=(2i)10=210⋅i10=1024⋅(−1) =−1024(1+_i_)20=((1+_i_)2)10=(2_i_)10=210⋅_i_10=1024⋅(−1)=−**1024** * **Soru 9:**Z=2+2cos⁡80−i⋅2cos⁡170_Z_=2+2cos80−_i_⋅2cos170 olduğuna göre ∣Z∣∣_Z_ ∣ ifadesinin eşiti nedir? - **Çözüm:** cos⁡170=−sin⁡80cos170=−sin80 olduğundan; - Z=2+2cos⁡80+2isin⁡80=2+2(2cos⁡240−1)+4isin⁡40cos⁡40_Z_=2+2cos80+2_i_sin80= 2+2(2cos240−1)+4_i_sin40cos40 - Z=4cos⁡240+4isin⁡40cos⁡40=4cos⁡40(cos⁡40+isin⁡40)  ⟹  ∣Z∣=4cos⁡40_Z_=4cos240 +4_i_sin40cos40=4cos40(cos40+_i_sin40)⟹∣_Z_∣=**4**cos**40** * **Soru 10:**∣Z∣−Z=3+4i∣_Z_∣−_Z_=3+4_i_ olduğuna göre, Z_Z_ karmaşık sayısının reel kısmı kaçtır? - **Çözüm:** Z=a+bi_Z_=_a_+_bi_ diyelim. a2+b2−a−bi=3+4i_a_2+_b_2​−_a_−_bi_= 3+4_i_ - Buradan b=−4_b_=−4 bulunur. a2+16−a=3  ⟹  a2+16=a+3_a_2+16​−_a_=3⟹_a_2+16​ =_a_+3 - Karesini alırsak: a2+16=a2+6a+9  ⟹  7=6a  ⟹  a=7/6_a_2+16=_a_2+6_a_+9⟹7=6_a_ ⟹**a**=**7/6** * **Soru 11:**aa_c_>_a_ olduğundan (c−a)(_c_−_a_) pozitif, b_b_ negatiftir. ab=4_ab_​=4 (reel kısım), b(c−a)=3i_b_(_c_−_a_)​=3_i_ (sanal kısım). - ab=16_ab_=16 ve b(c−a)=−9  ⟹  bc−ab=−9  ⟹  bc−16=−9  ⟹  bc=7_b_(_c_−_a_)=− 9⟹_b__c_−_ab_=−9⟹_b__c_−16=−9⟹**bc**=**7** --- ## 📈 2. BÖLÜM: ÜSTEL FONKSİYON VE LOGARİTMA * **Soru 1:**f(x)=2x_f_(_x_)=2_x_ ile tanımlı üstel fonksiyon için f(1),f(1/2), f(−1),f(0),f(−3)_f_(1),_f_(1/2),_f_(−1),_f_(0),_f_(−3) değerlerini bulalım. - **Çözüm:** f(1)=21=2_f_(1)=21=**2**, f(1/2)=21/2=2_f_(1/2)=21/2=**2**​, f( −1)=2−1=1/2_f_(−1)=2−1=**1/2**, f(0)=20=1_f_(0)=20=**1**, f(−3)=2−3=1/8_f_( −3)=2−3=**1/8** * **Soru 3:**3232 sayısının 2 tabanına göre logaritmasını bulalım. - **Çözüm:** log⁡232=y  ⟹  2y=32  ⟹  2y=25  ⟹  y=5log2​32=_y_⟹2_y_=32⟹2_y_=25 ⟹**y**=**5** * **Soru 4:** 2 tabanına göre 1/31/3 olan sayıyı bulalım. - **Çözüm:** log⁡2x=1/3  ⟹  x=21/3  ⟹  x=23log2​_x_=1/3⟹_x_=21/3⟹**x**=**3**** 2**​ * **Soru 5:**f:(−1,∞)→R_f_:(−1,∞)→R, f(x)=log⁡2(x+1)_f_(_x_)=log2​(_x_+1) fonksiyonu için f−1(x)_f_−1(_x_) kuralını ve f−1(5)_f_−1(5) değerini bulalım. - **Çözüm:** y=log⁡2(x+1)  ⟹  2y=x+1  ⟹  x=2y−1_y_=log2​(_x_+1)⟹2_y_=_x_+1⟹_x_ =2_y_−1. Ters fonksiyon: f−1(x)=2x−1_f_−1(_x_)=**2****x**−**1**. - f−1(5)=25−1=32−1=31_f_−1(5)=25−1=32−1=**31** --- ## 🔄 3. BÖLÜM: FONKSİYONLAR (Grafikler, Bileşke, Ters Fonksiyon) * **Soru (2000 ÖSS):**f(x)_f_(_x_) ve g(x)=x3_g_(_x_)=_x_3 grafikleri verilmiş.( f∘g−1∘f)(0)(_f_∘_g_−1∘_f_)(0) değeri kaçtır? - **Çözüm:** g−1(x)=x3_g_−1(_x_)=3_x_​’tir. Grafikten f(0)=8_f_(0)=8 ve f(2) =0_f_(2)=0 olduğu görülüyor. - (f∘g−1∘f)(0)=f(g−1(f(0)))=f(g−1(8))=f(2)=0(_f_∘_g_−1∘_f_)(0)=_f_(_g_−1(_f_( 0)))=_f_(_g_−1(8))=_f_(2)=**0** * **Soru (2003 ÖSS):**f(x)=∣x−2∣−∣x∣_f_(_x_)=∣_x_−2∣−∣_x_∣ olduğuna göre, f(−1) +f(0)+f(1)_f_(−1)+_f_(0)+_f_(1) toplamı kaçtır? - **Çözüm:** f(−1)=∣−3∣−∣−1∣=3−1=2_f_(−1)=∣−3∣−∣−1∣=3−1=2, f(0)=∣−2∣−∣0∣=2_f_( 0)=∣−2∣−∣0∣=2, f(1)=∣−1∣−∣1∣=0_f_(1)=∣−1∣−∣1∣=0. - Toplam: 2+2+0=42+2+0=**4** * **Soru (2006 ÖSS):**(f∘g)(x)(_f_∘_g_)(_x_) bileşke fonksiyonu bire bir ise hangisi kesinlikle doğrudur? - **Çözüm:** Bileşke fonksiyonun bire bir olması için içteki fonksiyonun (g) bire bir olması gerekir. **Cevap: g bire birdir.** * **Soru (2006 ÖSS):**f(x)=log⁡3(3x+1)_f_(_x_)=log3​(3_x_+1) fonksiyonunun tersi nedir? - **Çözüm:** y=log⁡3(3x+1)  ⟹  3y=3x+1  ⟹  3x=3y−1  ⟹  x=(3y−1)/3_y_=log3​(3_x_ +1)⟹3_y_=3_x_+1⟹3_x_=3_y_−1⟹_x_=(3_y_−1)/3. - f−1(x)=(3x−1)/3_f_−1(_x_)=(**3****x**−**1**)**/3** * **Soru (2007 ÖSS):**f(x)=2−∣x+3∣_f_(_x_)=2−∣_x_+3∣​ fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir? - **Çözüm:** Kökün içi negatif olamaz: 2−∣x+3∣≥0  ⟹  ∣x+3∣≤2  ⟹  −2≤x+3≤2  ⟹ −5≤x≤−12−∣_x_+3∣≥0⟹∣_x_+3∣≤2⟹−2≤_x_+3≤2⟹−**5**≤**x**≤−**1** * **Soru (2010 YGS):**f(x)=x2_f_(_x_)=_x_2, g(x)=2x−1_g_(_x_)=2_x_−1 ise g(f(2)) _g_(_f_(2)) kaçtır? - **Çözüm:** f(2)=22=4_f_(2)=22=4. g(4)=2(4)−1=7_g_(4)=2(4)−1=**7** * **Soru (2011 LYS):**f(n)=2f(n−1)+1_f_(_n_)=2_f_(_n_−1)+1 ve f(0)=1_f_(0)=1 ise f(2)_f_(2) kaçtır? - **Çözüm:** f(1)=2(1)+1=3_f_(1)=2(1)+1=3. f(2)=2(3)+1=7_f_(2)=2(3)+1=**7** --- ## 🎲 4. BÖLÜM: PERMÜTASYON VE KOMBİNASYON * **Soru (1970 ÜSS):** 6 farklı yemekten 2 farklı yemek seçimi: C(6,2)=6⋅52⋅1=15_C_( 6,2)=2⋅16⋅5​=**15** * **Soru (1971 ÜSS):** 5 farklı kitap yan yana kaç türlü sıralanır? 5!=1205!=** 120** * **Soru (1972 ÜSS):** 10 kişiden 6 kişilik takım: C(10,6)=C(10,4)=10⋅9⋅8⋅74⋅3⋅ 2⋅1=210_C_(10,6)=_C_(10,4)=4⋅3⋅2⋅110⋅9⋅8⋅7​=**210** * **Soru (1973 ÜSS):** 8 yemekten 3’ü: C(8,3)=8⋅7⋅63⋅2⋅1=56_C_(8,3)=3⋅2⋅18⋅7⋅6​ =**56** * **Soru (1985 ÖYS):** 10 sporcudan 5 kişilik takım, 2 kişi belli ise kalan 8’den 3 seçilir: C(8,3)=56_C_(8,3)=**56** * **Soru (1986 ÖYS):** 10 öğrenciden 4 kişilik ekip ve 1 başkan: C(10,4)⋅C(4,1) =210⋅4=840_C_(10,4)⋅_C_(4,1)=210⋅4=**840** * **Soru (1988 ÖYS):** 11 kişiden 5’i İzmir’e, 6’sı Ankara’ya: C(11,5)⋅C(6,6)=462_C_( 11,5)⋅_C_(6,6)=**462** * **Soru (1989 ÖYS):** C(0,0)+C(6,3)=3⋅C(m,m−1)  ⟹  1+20=3m  ⟹  21=3m  ⟹  m=7_C_( 0,0)+_C_(6,3)=3⋅_C_(_m_,_m_−1)⟹1+20=3_m_⟹21=3_m_⟹**m**=**7** * **Soru (1991 ÖYS):** lim⁡n→∞C(n,1)C(n,4)C(n,2)C(n,3)lim_n_→∞​_C_(_n_,2)_C_(_n_, 3)_C_(_n_,1)_C_(_n_,4)​ limiti: Formüller yazılıp sadeleştirildiğinde lim⁡n−32( n−1)=1/2lim2(_n_−1)_n_−3​=**1/2** * **Soru (1993 ÖSS):** A={a,b,c,d,e}_A_={_a_,_b_,_c_,_d_,_e_} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaçında ‘a’ bulunur? Kalan 4 elemandan 2’si seçilir: C(4,2)=6_C_( 4,2)=**6** * **Soru (1996 ÖYS):** A={1,2,3,4,5}_A_={1,2,3,4,5} alt kümelerinin kaçında 5 bulunur? Tüm alt kümeler (25=3225=32) – 5’siz alt kümeler (24=1624=16) = 16**16** --- ## ➗ 5. BÖLÜM: DİZİLER, TOPLAM VE ÇARPIM SEMBOLLERİ * **Soru:**an=8−nnan−1_a__n_​=_n_8−_n_​_a__n_−1​, a1=1_a_1​=1 ise a6_a_6​ kaçtır? - **Çözüm:** Sırasıyla hesaplanır: a2=3,a3=5,a4=5,a5=3,a6=1_a_2​=3,_a_3​=5,_a_4​ =5,_a_5​=3,_a_6​=**1** * **Soru:**an=10n⋅n!_a__n_​=10_n_⋅_n_! dizisinde an_a__n_​, an−1_a__n_−1​’in kaç katıdır? - **Çözüm:** 10n⋅n!10n−1⋅(n−1)!=10n10_n_−1⋅(_n_−1)!10_n_⋅_n_!​=**10n** * **Soru:**∑n=1m1n(n+1)=142∑_n_=1_m_​_n_(_n_+1)1​=421​ ise m_m_ kaçtır? _(Sunumda çarpım sembolü kullanılmış ancak toplam tercih edilmiş)_ - **Çözüm:** 1n(n+1)=1n−1n+1_n_(_n_+1)1​=_n_1​−_n_+11​ teleskopik toplamdır. Sonuç 1−1m+1=mm+11−_m_+11​=_m_+1_m_​’dir. - *(Not: Sunumda çarpım sembolü ile çözülüp m=41 bulunmuştur. Çarpım formülüyle 1m+1=142  ⟹  m=41_m_+11​=421​⟹_m_=41) * * **Soru (Tümevarım):**f_f_ tek fonksiyon, x1+x4=0_x_1​+_x_4​=0 ve x2+x3=0_x_2​ +_x_3​=0 ise ∑i=14f(xi)∑_i_=14​_f_(_x__i_​) toplamı kaçtır? - **Çözüm:** f(x1)+f(−x1)+f(x3)+f(−x3)=f(x1)−f(x1)+f(x3)−f(x3)=0_f_(_x_1​)+_f_( −_x_1​)+_f_(_x_3​)+_f_(−_x_3​)=_f_(_x_1​)−_f_(_x_1​)+_f_(_x_3​)−_f_(_x_3​) =**0** * **Soru:** ∑n=124C(n+1,n)=∑n=124(n+1)=24⋅252+24=300+24=324∑_n_=124​_C_(_n_+1,_n_) =∑_n_=124​(_n_+1)=224⋅25​+24=300+24=**324** * **Soru:**∏k=a25(1−22k+1)=517∏_k_=_a_25​(1−2_k_+12​)=175​ ise a_a_ kaçtır? - **Çözüm:** İçerisi 2k−12k+12_k_+12_k_−1​ olur. Çarpım teleskopiktir, sadeleşince 2a−151=517  ⟹  2a−151=1551  ⟹  2a−1=15  ⟹  a=8512_a_−1​=175​⟹512_a_−1​=5115​ ⟹2_a_−1=15⟹**a**=**8** * **Soru:**∑k=1100k⋅2k−1∑_k_=1100​_k_⋅2_k_−1 toplamı nedir? - **Çözüm:** Aritmetik-geometrik seri formülü uygulanır. Sonuç: 99⋅2100+1**99** ⋅**2****100**+**1** * **Soru:**∑n=11201n+1+n∑_n_=1120​_n_+1​+_n_​1​ toplamı nedir? - **Çözüm:** Payda eşleniğiyle çarpılır: n+1−n_n_+1​−_n_​. Teleskopik toplamdan 121−1=11−1=10121​−1​=11−1=**10**