karmaşık sayılar soru cevap slayt

karmaşık sayılar soru cevap slayt indir

🧮 MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ 🧠

Bu sunum, üniversiteye giriş sınavlarında (ÖSS, ÖYS, YGS, LYS) çıkmış çeşitli matematik sorularının çözümlerini içermektedir.

🔢 1. BÖLÜM: KARMAŞIK SAYILAR (Complex Numbers)

• Soru 1:$P(x)=2x^5-x^3+3x^2+4x+5$P(x)=2x5−x3+3x2+4x+5 olduğuna göre $P(i)$P(i) ifadesi neye eşittir?
  • Çözüm: $P(i)=2i^5-i^3+3i^2+4i+5$P(i)=2i5−i3+3i2+4i+5
  • $=2i-(-i)+3(-1)+4i+5$=2i−(−i)+3(−1)+4i+5
  • $=2i+i-3+4i+5=\mathbf{2}+\mathbf{7}\mathbf{i}$=2i+i−3+4i+5=2+7i
• Soru 2:$i+i^2+i^3+i^5+\cdots +i^{49}$i+i2+i3+i5+⋯+i49 toplamının sonucu kaçtır?
  • Çözüm: Terim sayısı 49’dur. 49’u 4’e böldüğümüzde kalan 1 olur. O halde toplam $i^1=\mathbf{i}$i1=i olur. (Sunumda yazım hatası olarak i1=1i1=1 yazılmıştır, doğrusu i’dir).
• Soru 3:$(2+i)\cdot (2+i^3)\cdot (2+i^5)$(2+i)⋅(2+i3)⋅(2+i5) işleminin sonucunu bulalım.
  • Çözüm: $i^3=-i$i3=−i ve $i^5=i$i5=i‘dir.
  • $(2+i)\cdot (2-i)\cdot (2+i)=(4-i^2)\cdot (2+i)=(4-(-1))\cdot (2+i)=5\cdot (2+i)=\mathbf{10}+\mathbf{5}\mathbf{i}$(2+i)⋅(2−i)⋅(2+i)=(4−i2)⋅(2+i)=(4−(−1))⋅(2+i)=5⋅(2+i)=10+5i
• Soru 4:$(1+i{)}^5\cdot (1-i{)}^6$(1+i)5⋅(1−i)6 işleminin sonucu kaçtır?
  • Çözüm: $(1+i)(1-i)=1-i^2=2$(1+i)(1−i)=1−i2=2’dir.
  • $=((1+i)(1-i){)}^5\cdot (1-i)=2^5\cdot (1-i)=\mathbf{32}-\mathbf{32}\mathbf{i}$=((1+i)(1−i))5⋅(1−i)=25⋅(1−i)=32−32i (Sunumda işaret hatası yapılıp 32+32i32+32i bulunmuştur).
• Soru 5 (1992 ÖYS):$(1+i{)}^{20}\mathrm{/}(1-i{)}^{20}$(1+i)20/(1−i)20 işleminin sonucu kaçtır?
  • Çözüm: $(1+i{)}^2=2i$(1+i)2=2i ve $(1-i{)}^2=-2i$(1−i)2=−2i olduğundan;
  • $(2i{)}^{10}\mathrm{/}(-2i{)}^{10}=(2i{)}^{10}\mathrm{/}(2i{)}^{10}=\mathbf{1}$(2i)10/(−2i)10=(2i)10/(2i)10=1
• Soru 6 (2007 ÖSS):$(1-2i)+(2+i)+\mathrm{\mid }1-2i\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }2+i\mathrm{\mid }$(1−2i)+(2+i)+∣1−2i∣⋅∣2+i∣ işleminin sonucu kaçtır? (Sunumdaki metin hatalı, çözüme göre doğrusu budur).
  • Çözüm: $=1-2i+2+i+\sqrt{1^2+(-2{)}^2}\cdot \sqrt{2^2+1^2}$=1−2i+2+i+12+(−2)2​⋅22+12​
  • $=3-i+\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=3-i+5=\mathbf{8}-\mathbf{i}$=3−i+5​⋅5​=3−i+5=8−i
• Soru 7:$a\mathrm{/}i-i\mathrm{/}a$a/i−i/a karmaşık sayısının sanal kısmı 2 olduğuna göre $a$a nedir?
  • Çözüm: $a\mathrm{/}i=-ai$a/i=−ai ve $i\mathrm{/}a$i/a‘dır. $-ai-i\mathrm{/}a=-i(a+1\mathrm{/}a)=-i(a^2+1)\mathrm{/}a$−ai−i/a=−i(a+1/a)=−i(a2+1)/a.
  • Sanal kısım: $-(a^2+1)\mathrm{/}a=2⟹a^2+1=-2a⟹a^2+2a+1=0⟹(a+1{)}^2=0⟹\mathbf{a}=-\mathbf{1}$−(a2+1)/a=2⟹a2+1=−2a⟹a2+2a+1=0⟹(a+1)2=0⟹a=−1
• Soru 8:$(a+bi{)}^{20}$(a+bi)20 ifadesinin açılımı yapıldığında elde edilen terimlerin katsayıları toplamı kaçtır?
  • Çözüm: $a=b=1$a=b=1 için $(1+i{)}^{20}=((1+i{)}^2{)}^{10}=(2i{)}^{10}=2^{10}\cdot i^{10}=1024\cdot (-1)=-\mathbf{1024}$(1+i)20=((1+i)2)10=(2i)10=210⋅i10=1024⋅(−1)=−1024
• Soru 9:$Z=2+2\cos 80-i\cdot 2\cos 170$Z=2+2cos80−i⋅2cos170 olduğuna göre $\mathrm{\mid }Z\mathrm{\mid }$∣Z∣ ifadesinin eşiti nedir?
  • Çözüm: $\cos 170=-\sin 80$cos170=−sin80 olduğundan;
  • $Z=2+2\cos 80+2i\sin 80=2+2(2{\cos }^{2}40-1)+4i\sin 40\cos 40$Z=2+2cos80+2isin80=2+2(2cos240−1)+4isin40cos40
  • $Z=4{\cos }^{2}40+4i\sin 40\cos 40=4\cos 40(\cos 40+i\sin 40)⟹\mathrm{\mid }Z\mathrm{\mid }=\mathbf{4}\cos \mathbf{40}$Z=4cos240+4isin40cos40=4cos40(cos40+isin40)⟹∣Z∣=4cos40
• Soru 10:$\mathrm{\mid }Z\mathrm{\mid }-Z=3+4i$∣Z∣−Z=3+4i olduğuna göre, $Z$Z karmaşık sayısının reel kısmı kaçtır?
  • Çözüm: $Z=a+bi$Z=a+bi diyelim. $\sqrt{a^2+b^2}-a-bi=3+4i$a2+b2​−a−bi=3+4i
  • Buradan $b=-4$b=−4 bulunur. $\sqrt{a^2+16}-a=3⟹\sqrt{a^2+16}=a+3$a2+16​−a=3⟹a2+16​=a+3
  • Karesini alırsak: $a^2+16=a^2+6a+9⟹7=6a⟹\mathbf{a}=\mathbf{7}\mathbf{/}\mathbf{6}$a2+16=a2+6a+9⟹7=6a⟹a=7/6
• Soru 11:$a<b<0<c$a<b<0<c olmak üzere, $\sqrt{b(c-a)}+\sqrt{ab}=4+3i$b(c−a)​+ab​=4+3i ise $b\cdot c$b⋅c kaçtır?
  • Çözüm: $c>a$c>a olduğundan $(c-a)$(c−a) pozitif, $b$b negatiftir. $\sqrt{ab}=4$ab​=4 (reel kısım), $\sqrt{b(c-a)}=3i$b(c−a)​=3i (sanal kısım).
  • $ab=16$ab=16 ve $b(c-a)=-9⟹bc-ab=-9⟹bc-16=-9⟹\mathbf{b}\mathbf{c}=\mathbf{7}$b(c−a)=−9⟹bc−ab=−9⟹bc−16=−9⟹bc=7

📈 2. BÖLÜM: ÜSTEL FONKSİYON VE LOGARİTMA

• Soru 1:$f(x)=2^x$f(x)=2x ile tanımlı üstel fonksiyon için $f(1),f(1\mathrm{/}2),f(-1),f(0),f(-3)$f(1),f(1/2),f(−1),f(0),f(−3) değerlerini bulalım.
  • Çözüm: $f(1)=2^1=\mathbf{2}$f(1)=21=2, $f(1\mathrm{/}2)=2^{1\mathrm{/}2}=\sqrt{\mathbf{2}}$f(1/2)=21/2=2​, $f(-1)=2^{-1}=\mathbf{1}\mathbf{/}\mathbf{2}$f(−1)=2−1=1/2, $f(0)=2^0=\mathbf{1}$f(0)=20=1, $f(-3)=2^{-3}=\mathbf{1}\mathbf{/}\mathbf{8}$f(−3)=2−3=1/8
• Soru 3:$32$32 sayısının 2 tabanına göre logaritmasını bulalım.
  • Çözüm: ${\log }_{2}32=y⟹2^y=32⟹2^y=2^5⟹\mathbf{y}=\mathbf{5}$log2​32=y⟹2y=32⟹2y=25⟹y=5
• Soru 4: 2 tabanına göre $1\mathrm{/}3$1/3 olan sayıyı bulalım.
  • Çözüm: ${\log }_{2}x=1\mathrm{/}3⟹x=2^{1\mathrm{/}3}⟹\mathbf{x}=\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{2}}$log2​x=1/3⟹x=21/3⟹x=32​
• Soru 5:$f:(-1,\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$f:(−1,∞)→R, $f(x)={\log }_2(x+1)$f(x)=log2​(x+1) fonksiyonu için $f^{-1}(x)$f−1(x) kuralını ve $f^{-1}(5)$f−1(5) değerini bulalım.
  • Çözüm: $y={\log }_2(x+1)⟹2^y=x+1⟹x=2^y-1$y=log2​(x+1)⟹2y=x+1⟹x=2y−1. Ters fonksiyon: $f^{-1}(x)={\mathbf{2}}^{\mathbf{x}}-\mathbf{1}$f−1(x)=2x−1.
  • $f^{-1}(5)=2^5-1=32-1=\mathbf{31}$f−1(5)=25−1=32−1=31

🔄 3. BÖLÜM: FONKSİYONLAR (Grafikler, Bileşke, Ters Fonksiyon)

• Soru (2000 ÖSS):$f(x)$f(x) ve $g(x)=x^3$g(x)=x3 grafikleri verilmiş. $(f\circ g^{-1}\circ f)(0)$(f∘g−1∘f)(0) değeri kaçtır?
  • Çözüm: $g^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$g−1(x)=3x​’tir. Grafikten $f(0)=8$f(0)=8 ve $f(2)=0$f(2)=0 olduğu görülüyor.
  • $(f\circ g^{-1}\circ f)(0)=f(g^{-1}(f(0)))=f(g^{-1}(8))=f(2)=\mathbf{0}$(f∘g−1∘f)(0)=f(g−1(f(0)))=f(g−1(8))=f(2)=0
• Soru (2003 ÖSS):$f(x)=\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$f(x)=∣x−2∣−∣x∣ olduğuna göre, $f(-1)+f(0)+f(1)$f(−1)+f(0)+f(1) toplamı kaçtır?
  • Çözüm: $f(-1)=\mathrm{\mid }-3\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }-1\mathrm{\mid }=3-1=2$f(−1)=∣−3∣−∣−1∣=3−1=2, $f(0)=\mathrm{\mid }-2\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }=2$f(0)=∣−2∣−∣0∣=2, $f(1)=\mathrm{\mid }-1\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }1\mathrm{\mid }=0$f(1)=∣−1∣−∣1∣=0.
  • Toplam: $2+2+0=\mathbf{4}$2+2+0=4
• Soru (2006 ÖSS):$(f\circ g)(x)$(f∘g)(x) bileşke fonksiyonu bire bir ise hangisi kesinlikle doğrudur?
  • Çözüm: Bileşke fonksiyonun bire bir olması için içteki fonksiyonun (g) bire bir olması gerekir. Cevap: g bire birdir.
• Soru (2006 ÖSS):$f(x)={\log }_3(3x+1)$f(x)=log3​(3x+1) fonksiyonunun tersi nedir?
  • Çözüm: $y={\log }_3(3x+1)⟹3^y=3x+1⟹3x=3^y-1⟹x=(3^y-1)\mathrm{/}3$y=log3​(3x+1)⟹3y=3x+1⟹3x=3y−1⟹x=(3y−1)/3.
  • $f^{-1}(x)=({\mathbf{3}}^{\mathbf{x}}-\mathbf{1})\mathbf{/}\mathbf{3}$f−1(x)=(3x−1)/3
• Soru (2007 ÖSS):$f(x)=\sqrt{2-\mathrm{\mid }x+3\mathrm{\mid }}$f(x)=2−∣x+3∣​ fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
  • Çözüm: Kökün içi negatif olamaz: $2-\mathrm{\mid }x+3\mathrm{\mid }\ge 0⟹\mathrm{\mid }x+3\mathrm{\mid }\le 2⟹-2\le x+3\le 2⟹-\mathbf{5}\le \mathbf{x}\le -\mathbf{1}$2−∣x+3∣≥0⟹∣x+3∣≤2⟹−2≤x+3≤2⟹−5≤x≤−1
• Soru (2010 YGS):$f(x)=x^2$f(x)=x2, $g(x)=2x-1$g(x)=2x−1 ise $g(f(2))$g(f(2)) kaçtır?
  • Çözüm: $f(2)=2^2=4$f(2)=22=4. $g(4)=2(4)-1=\mathbf{7}$g(4)=2(4)−1=7
• Soru (2011 LYS):$f(n)=2f(n-1)+1$f(n)=2f(n−1)+1 ve $f(0)=1$f(0)=1 ise $f(2)$f(2) kaçtır?
  • Çözüm: $f(1)=2(1)+1=3$f(1)=2(1)+1=3. $f(2)=2(3)+1=\mathbf{7}$f(2)=2(3)+1=7

🎲 4. BÖLÜM: PERMÜTASYON VE KOMBİNASYON

• Soru (1970 ÜSS): 6 farklı yemekten 2 farklı yemek seçimi: $C(6,2)=\frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}=\mathbf{15}$C(6,2)=2⋅16⋅5​=15
• Soru (1971 ÜSS): 5 farklı kitap yan yana kaç türlü sıralanır? $5!=\mathbf{120}$5!=120
• Soru (1972 ÜSS): 10 kişiden 6 kişilik takım: $C(10,6)=C(10,4)=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\mathbf{210}$C(10,6)=C(10,4)=4⋅3⋅2⋅110⋅9⋅8⋅7​=210
• Soru (1973 ÜSS): 8 yemekten 3’ü: $C(8,3)=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}=\mathbf{56}$C(8,3)=3⋅2⋅18⋅7⋅6​=56
• Soru (1985 ÖYS): 10 sporcudan 5 kişilik takım, 2 kişi belli ise kalan 8’den 3 seçilir: $C(8,3)=\mathbf{56}$C(8,3)=56
• Soru (1986 ÖYS): 10 öğrenciden 4 kişilik ekip ve 1 başkan: $C(10,4)\cdot C(4,1)=210\cdot 4=\mathbf{840}$C(10,4)⋅C(4,1)=210⋅4=840
• Soru (1988 ÖYS): 11 kişiden 5’i İzmir’e, 6’sı Ankara’ya: $C(11,5)\cdot C(6,6)=\mathbf{462}$C(11,5)⋅C(6,6)=462
• Soru (1989 ÖYS): $C(0,0)+C(6,3)=3\cdot C(m,m-1)⟹1+20=3m⟹21=3m⟹\mathbf{m}=\mathbf{7}$C(0,0)+C(6,3)=3⋅C(m,m−1)⟹1+20=3m⟹21=3m⟹m=7
• Soru (1991 ÖYS): ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{C(n,1)C(n,4)}{C(n,2)C(n,3)}$limn→∞​C(n,2)C(n,3)C(n,1)C(n,4)​ limiti: Formüller yazılıp sadeleştirildiğinde $\lim \frac{n-3}{2(n-1)}=\mathbf{1}\mathbf{/}\mathbf{2}$lim2(n−1)n−3​=1/2
• Soru (1993 ÖSS): $A=\{a,b,c,d,e\}$A={a,b,c,d,e} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaçında ‘a’ bulunur? Kalan 4 elemandan 2’si seçilir: $C(4,2)=\mathbf{6}$C(4,2)=6
• Soru (1996 ÖYS): $A=\{1,2,3,4,5\}$A={1,2,3,4,5} alt kümelerinin kaçında 5 bulunur? Tüm alt kümeler ($2^5=32$25=32) – 5’siz alt kümeler ($2^4=16$24=16) = $\mathbf{16}$16

➗ 5. BÖLÜM: DİZİLER, TOPLAM VE ÇARPIM SEMBOLLERİ

• Soru:$a_n=\frac{8-n}{n}{a}_{n-1}$an​=n8−n​an−1​, $a_1=1$a1​=1 ise $a_6$a6​ kaçtır?
  • Çözüm: Sırasıyla hesaplanır: $a_2=3,a_3=5,a_4=5,a_5=3,a_6=\mathbf{1}$a2​=3,a3​=5,a4​=5,a5​=3,a6​=1
• Soru:$a_n={10}^n\cdot n!$an​=10n⋅n! dizisinde $a_n$an​, $a_{n-1}$an−1​’in kaç katıdır?
  • Çözüm: $\frac{{10}^n\cdot n!}{{10}^{n-1}\cdot (n-1)!}=\mathbf{10}\mathbf{n}$10n−1⋅(n−1)!10n⋅n!​=10n
• Soru:${\sum }_{n=1}^m\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{42}$∑n=1m​n(n+1)1​=421​ ise $m$m kaçtır? (Sunumda çarpım sembolü kullanılmış ancak toplam tercih edilmiş)
  • Çözüm: $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$n(n+1)1​=n1​−n+11​ teleskopik toplamdır. Sonuç $1-\frac{1}{m+1}=\frac{m}{m+1}$1−m+11​=m+1m​’dir.
  • *(Not: Sunumda çarpım sembolü ile çözülüp m=41 bulunmuştur. Çarpım formülüyle $\frac{1}{m+1}=\frac{1}{42}⟹m=41$m+11​=421​⟹m=41) *
• Soru (Tümevarım):$f$f tek fonksiyon, $x_1+x_4=0$x1​+x4​=0 ve $x_2+x_3=0$x2​+x3​=0 ise ${\sum }_{i=1}^{4}f(x_i)$∑i=14​f(xi​) toplamı kaçtır?
  • Çözüm: $f(x_1)+f(-x_1)+f(x_3)+f(-x_3)=f(x_1)-f(x_1)+f(x_3)-f(x_3)=\mathbf{0}$f(x1​)+f(−x1​)+f(x3​)+f(−x3​)=f(x1​)−f(x1​)+f(x3​)−f(x3​)=0
• Soru: ${\sum }_{n=1}^{24}C(n+1,n)={\sum }_{n=1}^{24}(n+1)=\frac{24\cdot 25}{2}+24=300+24=\mathbf{324}$∑n=124​C(n+1,n)=∑n=124​(n+1)=224⋅25​+24=300+24=324
• Soru:${\prod }_{k=a}^{25}(1-\frac{2}{2k+1})=\frac{5}{17}$∏k=a25​(1−2k+12​)=175​ ise $a$a kaçtır?
  • Çözüm: İçerisi $\frac{2k-1}{2k+1}$2k+12k−1​ olur. Çarpım teleskopiktir, sadeleşince $\frac{2a-1}{51}=\frac{5}{17}⟹\frac{2a-1}{51}=\frac{15}{51}⟹2a-1=15⟹\mathbf{a}=\mathbf{8}$512a−1​=175​⟹512a−1​=5115​⟹2a−1=15⟹a=8
• Soru:${\sum }_{k=1}^{100}k\cdot 2^{k-1}$∑k=1100​k⋅2k−1 toplamı nedir?
  • Çözüm: Aritmetik-geometrik seri formülü uygulanır. Sonuç: $\mathbf{99}\cdot {\mathbf{2}}^{\mathbf{100}}+\mathbf{1}$99⋅2100+1
• Soru:${\sum }_{n=1}^{120}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$∑n=1120​n+1​+n​1​ toplamı nedir?
  • Çözüm: Payda eşleniğiyle çarpılır: $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$n+1​−n​. Teleskopik toplamdan $\sqrt{121}-\sqrt{1}=11-1=\mathbf{10}$121​−1​=11−1=10